Куперс

Бухучет и анализ

Минус на плюс дает минус

В данном уроке мы изýчим сложение и вычитание целых чисел.

Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел расстраивают обучающихся больше всего.

Примеры сложения и вычитания целых чисел

Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.

Рассмотрим следующее простейшее выражение

1 + 3

Значение данного выражения равно 4

1 + 3 = 4

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3

Значение данного выражения равно −2

1 − 3 = −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.

Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

−2 + 4 = 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.

Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

−1 − 3 = −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.

Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

−2 + 2 = 0

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

Правила сложения и вычитания целых чисел

Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.

Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.

Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5

Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Итак, посмотрим какой модуль больше:

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3

Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)

Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.

Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.

Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1

Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7

В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.

Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4

Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.

Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:

После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.

Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:

a − b = − (b − a)

Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.

На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.

Итак, знакомимся с новым правилом:

Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:

5 − 3 = 2

Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:

5 + (−3)

А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.

Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.

Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.

А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:

(+3) − (+1)

Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.

В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).

Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Дальнейшее вычисление не составит особого труда.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.

Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.

У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:

(+3) − (+7)

Заменим вычитание сложением:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Дальнейшее вычисление не составляет труда:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5

Приведём выражение к понятному виду:

(−4) − (+5)

Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Решение для данного примера можно записать покороче:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

или ещё короче:

−4 − 5 = −9

Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Решение данного примера можно записать покороче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

или ещё короче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Приведём выражение к понятному виду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:

Первое действие:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Второе действие:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третье действие:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четвёртое действие:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15

Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.

Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.

Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения: −50 + 40 Решение −50 + 40 = −10 Задание 2. Найдите значение выражения: 25 + (−5) Решение 25 + (−5) = 20 Задание 3. Найдите значение выражения: −20 + 60 Решение −20 + 60 = 40 Задание 4. Найдите значение выражения: 20 + (−8) Решение 20 + (−8) = 12 Задание 5. Найдите значение выражения: 30 + (−50) Решение 30 + (−50) = −20 Задание 6. Найдите значение выражения: 27 + (−19) Решение 27 + (−19) = 8 Задание 7. Найдите значение выражения: −17 + (−12) + (−8) РешениеЗадание 8. Найдите значение выражения: −6 − 4 Решение −6 − 4 = −6 + (−4) = −10 Задание 9. Найдите значение выражения: −6 − (−4) Решение −6 − (−4) = −6 + 4 = −2 Задание 10. Найдите значение выражения: −15 − (−15) Решение −15 − (−15) = −15 + 15 = 0 Задание 11. Найдите значение выражения: −11 − (−14) Решение −11 − (−14) = −11 + 14 = 3 Задание 12. Найдите значение выражения: −3 + 2 − (−1) РешениеЗадание 13. Найдите значение выражения: −5 − 6 − 3 Решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Главная » Математика » Правила знаков

Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.

Рассмотрим подробней основные правила знаков.

Деление.

Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».

Умножение.

Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».

Вычитание и сложение.

Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.

Правила при умножении (делении) чисел

Множители
(делимое и делитель)
Результат
+ + +
+
+
+

Про елементарні операції і їх розуміння. Про числа і множини і про те, що трапляється, коли робиш крок у невідоме. Що робити, якщо ви опинились у невідомому просторі множин і з чого почати його облаштування? Як додавати і головне віднімати множини, щоб це мало сенс.

Для мене задача вирішена в той момент, коли вона поставлена.
Джон Ф. Неш, математик, лауреат Нобелівської премії

Вступ

Математичні конструкції і формули часто відлякують від читання, особливо це стосується науково-популярної літератури. І дійсно, невже не можна обійтись без них? Стівен Гокінг колись сказав, що кожна формула зменшує кількість читачів вдвічі (це стосувалось лише науково-популярної літератури!) і спочатку залишив в своїй «Короткій історії” одну-єдину Е=mc2, а потім, в черговій редакції, викинув і її. Уникнення формул стало трендом і, мабуть, мейнстрімом. І це, можливо, прийнятно в багатьох областях – біології, археології, фізиці – але не в математиці. Справа в тому, що формули є абстракціями, які дозволяють швидко оперувати загальними категоріями. Завдяки цим символам можливо формулювати ідеї та будувати складні конструкції. Формульні структури утворюють спільний простір, в якому математики можуть спілкуватись незалежно від їх мови. В цій статті я спробую показати на дуже простому прикладі, як такі структури виникають та за якими законами вони розвиваються (і постараюсь майже без формул).

Коли все начебто очевидно просто, але ніт

Всім відомий вираз «мінус на мінус дає плюс” і його значення. Формульно він записується дуже коротко:

– (- а ) = + а

а ідея в тому, що мінус – це щось «погане”, але іноді комбінація поганого і поганого дають в результаті щось «хороше” – плюс.

Як правило, плюс перед числом не пишуть, але важливо пам’ятати, що він там є. Зрозуміло, що мінус без плюса не має сенсу, отже потрібно почати з цієї елементарної операції. Для того щоб пройти шляхом абстрагування, потрібно згадати, як взагалі будуються числа й здійснюються операції над ними? Спочатку потрібно визначити базовий елемент – це може бути будь-що: наприклад, стілець.

Один стілець (базова одиниця)

Якщо у нас є стілець, то ми можемо поставити поруч ще один (уявімо собі, що в нас їх нескінченний запас) і ця можливість вже визначає всі натуральні числа.

+

Один стілець і ще один стілець (ідентичний першому)

Важливо зробити крок до абстрактної кількості стільців. Хоча це цілком очевидно для нас, далеко не всі народи в історії змогли зробити цей крок. Відомі племена, які зупинялись на визначенні понять «один, два, багато” або ті, які мали окремі чисельники для округлих, квадратних та лінійних предметів – бо як можна додуматись додавати дерева і оленів? Але коли ми зробили крок до додавання кількості об’єктів, операція суми цілком інтуїтивно зрозуміла – потрібно поставити стільці поруч і сказати: ось два стільці. Отже стілець і стілець – тобто сума цих стільців 1 + 1 = 2. В принципі, позначати окремим символом результат необов’язково, але це суттєво економить час. Цей крок можна, наприклад, спостерігати у австралійських племен, у яких числа на момент приходу європейців мали такий вигляд (плем’я Каміларої): 1 = мал, 2 = булан, 3 = гуліба, 4 = булан-булан, 5 = булан-гуліба, 6 = гуліба-гуліба.

Таким чином, ми можемо отримати будь-яке натуральне число, просто додаючи одиницю:

1 + 1 + 1 = 3, 1 + 1 + 1 + 1 = 4, …

При цьому ми використали поки що лише один (стілець), операцію додавання й загальну ідею абстрагування. Чому це важливо? Тому що одна проста операція (правило додавання) утворила цілий простір чисел, який вже починає існувати за власними законами. Наприклад, цей простір необмежений, не існує найбільшого числа оскільки до нього завжди можна додати ще одиницю.

Наступний принципово важливий крок – знаходження елементу, який був би «нейтральним” відносно операції. Тобто, це має бути такий «стілець”, щоб його сума з будь-яким числом не змінювала це число. Для операції додавання традиційно такий елемент називається нулем. Його поява (можливо в Месопотамії, можливо в Індії) була дійсно науковим проривом – адже з практичної точки зору вводити окремий символ для позначення пустоти досить дивно. Цей винахід зробив можливою десятичну позиційну систему числення, яка через арабів потрапила до Європи (тому і арабські числа). Додавання нуля записується наступним правилом:

0 + а = а + 0 = а

Поки що все чудово й узгоджено. Є нуль і натуральні числа (деякі математики вважають нуль натуральним, деякі – ні), сума дозволяє отримувати нові числа з існуючих і не виводить за межі простору. Тобто, неможливо, додаючи натуральні числа, отримати ненатуральне число.

Але в цей числовий рай потрапляє змій сумнівів і питань. От наприклад, яке число потрібно додати до 3, щоб отримати 5? Можна підібрати це число напряму: 2 + 3 = 5, а можна відняти від 5 (стільців) 3 (стільці) і отримати той же результат. Очевидна штука, але її ефект прихований і руйнівний. Ми щойно ввели нову операцію, обернену до додавання. І вона виводить за межі нашого відомого простору чисел! Щоб це зрозуміти достатньо спитати: а яке число потрібно додати до 5, щоб отримати 2? Це число -3 і мінус тут є частиною числа. Так, це число пов’язане з відомою нам трійкою певним співвідношенням, але по суті від’ємні числа – це окремий клас. Тобто,

-3 = 0 – 3

Або інакше: -3 це таке число, яке при додаванні до 3 дасть 0. Множина всіх таких чисел (додатніх і від’ємних) називається цілими числами. Цікавою є геометрична інтерпретація, числа 3 і -3 симетричні відносно нуля, тобто операція 0 – 3 це те саме, що відобразити 3 відносно нуля (помножити на -1). Подвійна симетрія повертає точку саму в себе, саме тому для чисел у виразі «мінус на мінус дає плюс” немає нічого дивного.

Як одна операція та інтуїтивне бажання узагальнювати створюють нові простори.

Послідовність кроків, яку ми щойно зробили повторюється при введенні множення. Множення – це, по суті, сума сум чисел, і в стародавньому Єгипті, де не було позиційної системи запису чисел, це суттєво використовували. Відомий приклад множення 11 на 13, якому вже під 4000 тис. років. Папірус пропонує знаходити відповідь наступним чином. Запишемо 13 = 1 + 4 + 8, потім зведемо до додавання та множення на два:

*1 11
2 22
*4 44
*8 88

Тепер додаємо числа в рядках з зірочками і отримуємо результат – 143.

Оберненою операцією до множення є ділення. Ділення виводить за межі цілих чисел і його необхідно розширити. Наслідком є виникнення раціональних чисел (тобто чисел виду m/n, де m, n – натуральні).

Але і це не все, бо ще є піднесення до квадрату (множення множень), яке також має обернену операцію – видобування кореню. Видобування кореню знов таки виводить за межі простору, доводиться розширювати його до комплексних чисел. А далі ще є поле кватерніонів… Як видно, узагальнення – це залежність, іноді важко зупинитись. Ці нові простори можуть бути дуже різні, але для всіх виконується правило, що мінус – це симетрія відносно нуля. Тому мінус від мінуса таки плюс (те саме число), хоч для дійсних, хоч для комплексних. Множення цю властивість вже втратило, тому корень кореня це корень 4 степеня а не саме число (є виключення – одиниця).

Однак узагальнювати можна не лише в напрямку введення нових операцій: що буде якщо замість однієї точки ми розглянемо множини точок?

Вихід у невідомий простір. Вітаю в просторі множин.

Множини є дійсно фундаментальним поняттям в математиці. І, завдяки Рене Декарту, ми можемо зв’язати числа і множини. Кожне число є точкою на осі, то чому б не розглянути множини точок, або, скажімо, відрізки? Невже щось зміниться якщо ми будемо додавати не числа а множини?

NB. Тут потрібно зробити невеликий відступ. Якщо математики переносять стару, відому операцію на новий простір, то вони мають це відповідно обгрунтувати. Якщо це сума, то вона має відповідати властивостям суми, або називатись по іншому. Особливо це стосується ситуації, коли старий простір є частиною нового. Тоді операція має перетворюватись на звичну операцію на старому просторі, інакше виникне плутанина.

Розглянемо спочатку множину, яка складається з відрізку . Як розуміти додавання + (не плутати з об’єднанням множин, де ми просто беремо точки однієї множини і дописуємо точки іншої)? Герман Мінковський, німецький математик (відомий тим, що ставив трійки Альберту Ейнштейну), запропонував такий спосіб: візьмемо всі можливі пари точок з цих множин і знайдемо суму окремо кожної пари. Як додавати окремі точки ми знаємо. А потім об’єднаємо результати в одну множину. Ця операція отримала назву сума Мінковського (але іноді її називають просто сумою множин). Формульно це записується просто:

X + Y = {z ∈ Rn: z = x + y, x ∈ X, y ∈ Y}

Герман Мінковський (1864–1909). Як пізніше згадував Ейнштейн: «Всю необхідну для теорії відносності математику я взяв з лекцій Мінковського.”

Праці Мінковського щодо загальної теорії відносності нещодавно видані окремою книгою .

Тут ми утворили пари -1 -1, -1 1, 1 -1, 1 1 і знайшли суми для кожної пари.
{-1,1} + {-1,1} + {-1,1} = {-3, -1, 1, 3}
{-1,1} + {-1,1} + {-1,1} + {-1,1} = {-4, -2, 0, 2, 4}

Щось не дуже схоже на числа. Спробуємо додати відрізок :
+ =
+ + =
+ + + =

Ще один приклад, коли X + X ≠ 2X ():

Навіть якщо ми введемо додаткове обмеження щоб множина Х була опукла. (опуклість означає, що вона завжди містить відрізок який сполучає дві будь-які її точки. На числовій прямій опуклими множинами є відрізки або півнескінченні інтервали), то таких множин на числовій прямій буде рівно шість (чи зможете ви їх знайти?).

Спробуємо тепер додати множини на площині. Виявляється, що найпростіше додавати круги (нагадую, що круг – це точки площини, обмежені колом). Якщо взяти два круга, то їх сума теж буде кругом з центром у сумі центрів і з радіусом рівним сумі радіусів. Цей елегантний результат дає інтуїтивне очікування, що операція має сенс.

Схожа ситуація відбувається при додаванні однотипних квадратів, трикутників і т.д. А що буде при додаванні квадрата і круга?

Результатом буде такий квадрат з «згладженими” кутиками (його границя виділена червоною лінією). Додавання різних фігур у двовимірному та тривимірному просторі можна глянути в презентації .

Виходить, що X + X дає той самий результат, що і X – X? Так, і це виконується для всіх симетричних відносно нуля множин (пам’ятаєте, що мінус – це симетрія), тобто, якщо множина симетрична, то –X = X. Якась Орвеллівська математика виходить: свобода – це рабство, мінус – це плюс.

Різниця Мінковського.

Простір множин (ми будемо тут говорити лише про компактні множини, ті які можна вписати в кулю й у них суцільна границя, без дірок) виглядає як числовий простір – є сума й множення на числа. Для них виконуються багато властивостей, звичних нам з простору чисел. Але віднімання і множення на від’ємні числа інші. Мінковський, який одним з перших досліджував ці простори, запропонував дуже дивну операцію. Пам’ятаєте, на початку ми визначали -3 як число, яке потрібно додати до 5, щоб отримати 2? Мінковський використав схожу ідею. Якщо нам потрібно знайти X -* Y (де дивний значок -* означає різницю Мінковського), то спробуємо знайти таку множину Z, щоб Z + Y була підмножиною X (для множин рівність виконується рідко, довелось використати оператор підмножини). Формульно це довге визначення записується так:

X -* Y = {z ∈ Rn: z + Y ⊂ X}

Спробуємо відняти від великого червоного круга (позначимо A) маленький синий круг (позначимо B). Якщо до круга з центром в нулі додати точку – вийде круг з центром в цій точці. Отже нам потрібно знайти всі точки, такі щоб синій круг, перенесений в цю точку, не виходив за межу червоного.

Отже різниця Мінковського двох кругів (з центром в нулі) теж буде кругом (позначений зеленим) а його радіус буде дорівнювати різниці радіусів – більший мінус менший. Тепер спробуємо додати до результату круг, який ми віднімали: виходить, що A -* B + B = A. Також виконується, що різниця Мінковського двох однакових куль буде дорівнювати множині, яка містить лише точку 0. А це вже зовсім схоже на числа. На жаль, так красиво виходить лише з кругами (і лише коли вони з центром в нулі), але загалом це набагато краще ніж те, що було. При цьому важливо, що різниця Мінковського для чисел (одноточкових множин) співпадає зі звичайною різницею.

Сума і різниця Мінковського мають багато чудових властивостей. Ці операції є основою опуклого аналізу, дослідження багатозначних відображень і диференціальних включень. Є й більш практичні застосування для обробки зображень та алгоритмів уникнення зіткнень у робототехніці.

Замість епілогу

Повертаючись до початкової фрази: виходить, що мінус на мінус дає плюс, тільки коли ми звужуємо наше багатогранне життя до чисел – одноманітних, одноточкових множин, а операцію – до суми. Цікаві питання, які можуть спасти на думку при читанні цієї статті:

  • Чи існують від’ємні множини?
  • Що таке добуток множин?
  • Що таке корень з множини?
  • Чи можна множину піднести до степеню множини?
  • Залишимо їх відкритими.

Література

Цели урока:

— закрепить умение умножать натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби;

— научить умножать положительные и отрицательные числа;

— воспитывать умение работать в группах,

— развивать любознательность, интерес к математике; умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: модели термометров и дома, карточки для устного счета и проверочной работы, плакат с правилами знаков при умножении.

Ход урока

Мотивация

Учитель. Сегодня мы начинаем изучать новую тему. Мы как бы будем строить новый дом. Скажите, от чего зависит прочность дома?

Сейчас проверим, каков наш фундамент, то есть прочность наших знаний. Я вам не назвала тему урока. Она закодирована, то есть спрятана в задании для устного счета. Будьте внимательны и наблюдательны. Перед вами карточки с примерами. Решив их и поставив в соответствие ответу букву, вы узнаете название темы урока.

Учитель. Итак, это слово «умножение». Но мы уже с умножением знакомы. Зачем нам еще его изучать? Недавно вы познакомились с какими числами?

А умеем ли мы их умножать? Поэтому темой урока будет «Умножение положительных и отрицательных чисел».

Вы быстро и правильно решили примеры. Хороший фундамент заложили. (Учитель на модели дома «закладывает» фундамент.) Думаю, что дом будет прочным.

Изучение новой темы

Учитель. Теперь будем возводить стены. Они соединяют пол и крышу, то есть старую тему с новой. Сейчас вы будете работать группами. Каждая группа получит задачу, которую нужно решить всем вместе, а затем ее решение объяснить классу.

1-я группа

Температура воздуха понижается каждый час на 2°. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру он покажет через 3 часа?

Решение группы. Так как сейчас температура 0 и за каждый час температура понижается на 2°, то очевидно, что через 3 часа температура будет –6°. Обозначим понижение температуры –2°, а время +3 часа. Тогда можно считать, что (–2)·3 = –6.

Учитель. А что будет, если я множители переставлю, то есть 3·(–2)?

Учащиеся. Ответ тот же: –6, так как используется переместительное свойство умножения.

2-я группа

Температура воздуха понижается каждый час на 2°. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру воздуха показывал термометр 3 часа назад?

Решение группы. Так как температура за каждый час понижалась на 2°, а сейчас 0, то очевидно, что 3 часа назад она была +6°. Обозначим понижение температуры –2°, а прошедшее время –3 часа. Тогда можно считать, что (–2)·(–3) = 6.

Учитель. Вы пока не умеете умножать положительные и отрицательные числа. Но решали задачи, где нужно было умножать такие числа. Попробуйте сами вывести правила умножения положительного и отрицательного чисел, двух отрицательных чисел. (Ученики пытаются вывести правило.) Хорошо. Сейчас откроем учебники и прочитаем правила умножения положительных и отрицательных чисел. Сравните свое правило с тем, что записано в учебнике.

Правило 1. Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить модули этих чисел и поставить перед полученным произведением знак «–».

Правило 2. Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками, надо умножить модули этих чисел и поставить перед полученным произведением знак «+».

Учитель. Как вы видели при строительстве фундамента, у вас с умножением натуральных и дробных чисел нет проблем. Проблемы могут возникнуть при умножении положительных и отрицательных чисел. Почему?

Запомните! При умножении положительных и отрицательных чисел:

1) определяют знак;
2) находят произведение модулей.

Учитель. Для знаков при умножении есть свои мнемонические правила, которые запомнить очень просто. Коротко их формулируют так:

(В тетрадях ученики записывают правило знаков.)

Учитель. Если себя и своих друзей считать положительными, а наших врагов отрицательными, то можно сказать так:

Друг моего друга — мой друг.
Враг моего друга — мой враг.
Друг моего врага — мой враг.
Враг моего врага — мой друг.

Первичное осмысление и применение изученного

На доске примеры для устного решения. Ученики проговаривают правило:

–5·6;
–8·(–7);
9·(–3);
–45·0;
6·8.

Учитель. Все понятно? Нет вопросов? Таким образом, стены построены. (Учитель ставит стены.) Теперь что строим?

— Крышу.

Закрепление.

(К доске вызывается четверо учеников.)

Учитель. Крыша готова?

— Да.

(Учитель ставит крышу на модель домика.)

Проверочная работа

Ученики выполняют работу в один вариант.

После выполнения работы меняются тетрадями со своим соседом. Учитель сообщает верные ответы, а ученики выставляют отметки друг другу.

Итог урока. Рефлексия

Учитель. Какую цель мы ставили в начале урока? Вы научились умножать положительные и отрицательные числа? (Повторяют правила.) Как вы увидели на этом уроке, каждая новая тема — это дом, который нужно строить капитально, на годы. Иначе все ваши постройки через непродолжительное время рухнут. Поэтому всё зависит от вас. Я желаю, ребята, чтобы вам всегда улыбалась удача, успехов в усвоении знаний.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наверх